Colocando números consecutivos en cruz

La verdad, ya no recuerdo como he llegado aquí, pero estos últimos días me he estado entreteniendo en estudiar lo que podríamos denominar como la versión más sencilla y de geometría libre de un Cuadrado Mágico. Me refiero a la colocación de números consecutivos en direcciones que se cruzan en un punto de forma que las sumas de los números en la misma dirección tengan el mismo valor. ¿Me he explicado?

Pongo por ejemplo el caso más sencillo. ¿Cómo colocarías los números del 1 al 5 en la siguiente distribución de celdas, de modo que las dos direcciones que dibujan esas celdas, en este caso vertical y horizontal, sumen lo mismo?

En un par de minutos encontraréis alguna de las soluciones y en poco tiempo más todas las soluciones posibles, que son tres.

El resto de soluciones que os podáis imaginar (incluyendo las arriba indicadas) no son más que reflexiones o rotaciones de las mismas.

Bien, si os llama la atención os podéis preguntar qué ocurriría si tenemos 7 números y volvemos a colocarlos en un entramado de tres direcciones de forma que se crucen en el centro (la condición de que se crucen, obliga a que siempre tengamos números impares si queremos respetar que en todas las direcciones haya la misma cantidad de números). Para este caso, podemos construir una figura como la siguiente y empezar a rellenarla:

 De nuevo, tras unos minutos enredando con los números, llegaréis a las tres soluciones posibles.

Nuevamente solo hay tres soluciones posibles siempre que no contemos ni rotaciones ni reflexiones.

El siguiente caso sería colocar los números del 1 al 9 y lo podríamos hacer en torno a una figura centrada en un octógono.

A estas alturas, seguramente encontréis las soluciones sin apenas esfuerzo, llegando a algo similar a las siguientes: 

Y así podríamos continuar con 13, 15, 17... momento en el cual, buscaríamos generalizar los resultados.

¿Serías capaz de identificas cuáles son las características comunes de las soluciones? 

¿Puedes demostrar que, para todos los casos, siempre hay 3 soluciones (sin contar reflexiones ni rotaciones)? ¿Cuánto sumarían las soluciones posibles en función del número de cifras?

¿Puedes encontrar una expresión general para todas las soluciones?

Una vez que lo consigas, te animo a que resuelvas el mismo problema, pero esta vez, añadiendo dos números más por dirección. ¿Cuántas soluciones hay en este caso?

¿Y si añades cuatro más por dirección?
En la siguiente entrada explicaré la solución general de este problema para cualquier número N de casillas (impar) y cualquier número de direcciones D.