Colocando números consecutivos en cruz

La verdad, ya no recuerdo como he llegado aquí, pero estos últimos días me he estado entreteniendo en estudiar lo que podríamos denominar como la versión más sencilla y de geometría libre de un Cuadrado Mágico. Me refiero a la colocación de números consecutivos en direcciones que se cruzan en un punto de forma que las sumas de los números en la misma dirección tengan el mismo valor. ¿Me he explicado?

Pongo por ejemplo el caso más sencillo. ¿Cómo colocarías los números del 1 al 5 en la siguiente distribución de celdas, de modo que las dos direcciones que dibujan esas celdas, en este caso vertical y horizontal, sumen lo mismo?

En un par de minutos encontraréis alguna de las soluciones y en poco tiempo más todas las soluciones posibles, que son tres.

El resto de soluciones que os podáis imaginar (incluyendo las arriba indicadas) no son más que reflexiones o rotaciones de las mismas.

Bien, si os llama la atención os podéis preguntar qué ocurriría si tenemos 7 números y volvemos a colocarlos en un entramado de tres direcciones de forma que se crucen en el centro (la condición de que se crucen, obliga a que siempre tengamos números impares si queremos respetar que en todas las direcciones haya la misma cantidad de números). Para este caso, podemos construir una figura como la siguiente y empezar a rellenarla:

 De nuevo, tras unos minutos enredando con los números, llegaréis a las tres soluciones posibles.

Nuevamente solo hay tres soluciones posibles siempre que no contemos ni rotaciones ni reflexiones.

El siguiente caso sería colocar los números del 1 al 9 y lo podríamos hacer en torno a una figura centrada en un octógono.

A estas alturas, seguramente encontréis las soluciones sin apenas esfuerzo, llegando a algo similar a las siguientes: 

Y así podríamos continuar con 13, 15, 17... momento en el cual, buscaríamos generalizar los resultados.

¿Serías capaz de identificas cuáles son las características comunes de las soluciones? 

¿Puedes demostrar que, para todos los casos, siempre hay 3 soluciones (sin contar reflexiones ni rotaciones)? ¿Cuánto sumarían las soluciones posibles en función del número de cifras?

¿Puedes encontrar una expresión general para todas las soluciones?

Una vez que lo consigas, te animo a que resuelvas el mismo problema, pero esta vez, añadiendo dos números más por dirección. ¿Cuántas soluciones hay en este caso?

¿Y si añades cuatro más por dirección?
En la siguiente entrada explicaré la solución general de este problema para cualquier número N de casillas (impar) y cualquier número de direcciones D.

Tabla Periódica, formulación, dados y IOS/Android

Los que me sigan por mi cuenta en Twitter ya saben que he dejado la investigación y que ahora trabajo como profe de sustitución de mates y física-química con chavales de la ESO. ¿Y ese cambio? En breve, estas son las decisiones que a veces hay que tomar para, primero, poder vivir y, en segundo lugar, hacerlo de forma moralmente decente (todo un lujo poder hacerlo con los tiempos que corren). Los detalles darían para un libro pero vamos a lo importante que es compartir una idea para enseñar la Tabla periódica y la formulación de compuestos inorgánicos a los chavales. El método es sencillo:
1- construir unos dados con los símbolos de los elementos
2- jugar con esos dados para construir sustancias "correctas" entre los elementos.

1- Tabla Periódica y Dados
Llevar la tabla periódica a unos dados es tan fácil como tomar un puñado de dados y ponerles en las caras pegatinas con los símbolos de los elementos. Debido a la configuración de la tabla periódica y para un mejor aprendizaje de los grupos que las forman, yo recomendaría la siguiente distribución:
a) Elementos de los grupos 1,2, 13,14,15,16,17 y 18 (último electrón en orbital S o P).
Dado de 6 caras para los Alcalinos: Li, Na, K, Rb, Cs y Fr
Dado de 6 caras para los Alcalino-terreos: Be, Mg, Ca, Sr, Ba y Ra
Dado de 6 caras para los Térreos: B, Al, Ga, In y Tl. En la sexta cara se podría o bien incluir el Ununtrio, Uut, o bien completarla con Hidrógeno u Oxígeno que son de los elementos que más aparecen en compuestos inorgánicos.
Dado de 6 caras para los Carbonoideos: C, Si, Ge, Sn y Pb. De nuevo, en la sexta cara se puede optar por incluir el Flerovium, Fl, o poner Hidrógeno u Oxígeno.
Dado de 6 caras para los Nitrogenoideos: N, P, As, Sb, Bi. Para la sexta cara, se puede elegir entre incluir el Unumpentio, Uup, o poner Hidrógeno u Oxígeno.
Dado de 6 caras para los Anfígenos: O, S, Se, Te y Po. De nuevo, en la sexta cara se puede optar por incluir el Livermorium, Lv, o poner Hidrógeno u Oxígeno.
Dado de 6 caras para los Halógenos: F, Cl, Br, I y At. Para la sexta cara o bien el Ununseptio, Uus, o bien H y O.
Dado para los gases Nobles: He, Ne, Ar, Kr, Xe y Rn.


b) Para los metales de transición se pueden optar por varias opciones. Atendiendo a que corresponden, en su mayoría, a los elementos que van llenando los 10 electrones que caben en los orbitales d, se podrían utilizar dados de 10 caras para cada una de las filas.
Dado de 10 para los metales de transición del periodo 4: Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu y Zn.
Dado de 10 para los metales de transición del periodo 5: Y,Zr,Nb, Mo, Tc, Ru, Rh, Pd, Ag y Cd.
Dado de 10 para los metales de transición del periodo 6: Lu, Hf, Ta, W, Re, Os, Ir, Pt, Au y Hg.
Dado de 10 para los metales de transición del periodo 7: Lr, Rf, Db, Sg, Bh, Hs, Mt, Ds, Rg y Cn (Posiblemente este dado es prescindible porque son elementos muy infrecuentes).

Otra opción es seguir utilizando dados de 6 caras. En este caso, yo aconsejaría dejar fuera los metales de transición de periodo 7 y agrupar los restantes en dados de la siguiente forma:
Sc,Y, Lu, Ti, Zr y Hf
V, Nb, Ta, Cr, Mo y W
Mn, Tc, Re, Fe, Ru y Os
Co, Rh, Ir, Ni, Pd y Pt
Cu, Ag, Au, Zn, Cd y Hg.

Esta agrupación es un tanto arbitraria y quizás se podría racionalizar en función de valencias comunes.

c) Por último, para los Lantánidos y Actínidos, lo más sencillo sería asignarles un dado de 14 caras para cada uno (14 electrones caben en los orbitales f). Notar que en este caso, no habría forma de incluir todos en dados de 6 caras.

Yo me he fabricado una versión reducida con 13 dados de 6 caras con pegatinas (Alcalinos, Alcalino-terreos, Terreos, Carbonoideos, Nitrogenoideos, Alfígenos, Halógenos y gases Nobles más 5 para los metales de transición de los periodos 4, 5 y 6). Aun sin ningún uso, me han parecido tan chulos que he estado valorando contactar con alguna empresa que fabrique dados para que los hagan serigrafiados o incluso, en relieve. En Europa, todas mis pesquisas han ido dirigidas a www.dice.co.uk pero, como era de suponer, requieren pedidos en grandes cantidades. ¿Alguien se animaría a lanzar un proyecto de financiación colectiva? ¿Tendrían aceptación en algún sector, a parte del educativo?

2- Juego de dados para aprender a formular
La siguiente parte ha sido dar utilidad a esos dados para que los chavales practiquen la formulación. Sin quebrarme mucho la cabeza, he propuesto un juego en el que se tiren los dados y se hagan combinaciones posibles entre los elementos que aparezcan. La tirada de dados sería común para todos los jugadores y estos, en grupos o individualmente, intentan usar el mayor número de ellos para hacer compuestos inorgánicos, teniendo que formularlos y nombrarlos de forma correcta. Cuantos más dados usen, más puntos hacen, recomendando un valor cuadrático. Así, un compuesto de 2 elementos diferentes valdría 4 puntos, uno de 3 valdría 9, etc.
Aunque aún no lo he testeado suficientemente, en la práctica y por la frecuente presencia de H y O en los compuestos, se añadirían 4 o 5 dados más en los que en sus caras hubiera 3 Hidrógenos y 3 Oxígenos, asegurando así su aparición en todas las tiradas. Junto con ellos, habría que incluir también otros 4 o 5 dados con los números del 2 al 7, para poder construir la estequiometría correcta de casi todos los compuestos (algunos, con estequiometrías mayores, quedarían fuera aunque esto se podría arreglar, incluyendo dados con números mayores).

Ejemplo:
A continuación, pongo un ejemplo de juego de dados preparado para una partida y el resultado de una tirada:
Componentes:
18 dados de 6 caras de los cuales 13 corresponden a los mencionados (aunque por su casi nula reactividad, el dado de los gases nobles se podría sacar fuera) y otros 5 solo tienen H y O.
5 dados más de 6 caras con los números 2,3,4,5,6 y 7.
Ejemplo de tirada:
Por un lado, se tirarían los dados de los elementos y por el otro el de los números. Un resultado posible de una tirada podría ser:
Na, Be, Al, Ge, N, As, I, He, Y, Ta, Fe, Ni y Hg. Además,  H, O, O, O, y H
2, 3, 4, 5 y 2
Para esta tirada, las combinaciones de elementos posibles nos llevarían a construir por ejemplo:
Na I  combinación correcta que daría 4 puntos
N O 2 combinación correcta que daría otros 4 (más un posible punto más por usar dado de números)
Fe 2 O 3 combinación, de nuevo correcta que daría 4 puntos (más 2 puntos más por usar dos dados con números
GeH 4 combinación, de nuevo correcta que daría 4 puntos (más un posible punto más por usar dado de números)
Obviamente, ningún dado se puede utilizar más de una vez.
En total se han utilizado 8 dados de elementos más 4 dados de números que si se han formulado y nombrado correctamente dan un total de 4+4+4+4+1+2+1 = 20 puntos.

Verificación de sustancias creadas
De esta forma, los chavales no sólo aprenden los símbolos de los elementos, si  no que además han de saber las valencias con las que se combinan para escribir la estequiometría correcta y su nombre.
Este punto último me lleva a la cuestión de cómo verificar que una sustancia construida en una tirada existe y está bien definida. En muchos casos, las reglas generales de combinación de electrones será suficiente, pero en otros, no tiene por qué ser así. Para ello, estaría muy bien contar con un pequeño cuadernillo con una lista de sustancias inorgánicas, con su fórmula y las diferentes maneras de nombrarlas aceptadas por la IUPAC.
La lista se podría hacer, por ejemplo, a partir de la lista de sustancias inorgánicas que tiene la Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inorganic_compounds).

Versión IOS o Android
Puesto que se puede utilizar internet para verificar los compuestos propuestos, surge de manera natural llevar este juego a las aulas en una versión electrónica. Para ello habría que diseñar una aplicación en la que se pudieran configurar los dados electrónicos con los elementos como ya hemos dicho y que simulara una tirada de dados (Power Dice ya permite hacer eso para IOS. Para Android no he encontrado ninguna aplicación). Además, esa aplicación o bien tendría una base de datos de compuestos inorgánicos o bien podría lanzar consultas a bases de datos ya existentes para comprobar que son correctas y que se han nombrado correctamente las sustancias creadas.


Resumiendo...
creo que es un juego sencillo, vistoso y que los chavales (y no tan chavales) pueden poner en práctica para aprender jugando las elementos de la tabla Periódica y la formulación de compuestos inorgánicos. Estaría muy bien si alguien se animara a fabricarse uno y me enviara sus comentario. ¿Alguien se anima?


ACTUALIZACIÓN 17-03-2014
Después de preguntar en la cuenta de twitter  @CarnavalQuimica , me han incluido amablemente para participar  en la XXXIII Edición del Carnaval de Química, cuyo blog anfitrión es La Química en el siglo XXI .